ds^2 = e^-k|r|(dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2・dt^2) + dr^2

リサ・ランドール著の「ワープする宇宙」20章

巻末の「数学ノート」【35】【36】、見落としていました

一般相対論の幾何のメトリック　ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2・dt^2

歪曲した幾何のメトリック　ds^2 = e^-k|r|(dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2・dt^2) + dr^2

ｒは５番目の次元、ｃは光速、ｋはワープ係数

メモです

【35】　空間次元が3つの平坦時空のメトリック（計量）は，

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2・dt^2．

空間や時間に依存した係数はないので，測定は観測者の位置や向かう方向に依存しない．これは時空が完全に平坦であることを意味する．３つの空間の座標も時間の座標も（必ず時間だけにつくマイナス符号を除いて）すべて同じように扱われる．

【36】　歪曲した幾何のメトリックは

ds^2 = e^-k|r|(dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2・dt^2) + dr^2

ｒ は5番目の次元を表す．これを見ると，一定の r に相当する5番目の次元上のどの位置においても，時空は完全に平坦である．しかし，全体の ｒ に依存した係数は，5番目の次元上における位置に応じて測定される大きさが変わってくることを示している．係数は | r | が増加するにつれて指数関数的に急落する．